CAPITULO #2

METODOS DE INTEGRACION

2.1. Integrales de productos de senos y cosenos con diferente argumento.

Solución de integrales de la forma $\displaystyle \int{\sin{mu} \cos{nu} \, du}$ , $\displaystyle \int{\sin{mu} \sin{nu} \, du}$ , $\displaystyle \int{\cos{mu} \cos{nu} \, du}$ y $\displaystyle \int{\cos{mu} \sin{nu} \, du}$ donde el valor de $m$ debe ser diferente de $n$ y también el valor de $m$ debe ser siempre mayor que $n$ .

En este caso es posible transformar la expresión diferencial trigonométrica dada, por sustituciones trigonométricas, en una integral inmediata que contiene la suma y la diferencia de senos y cosenos.

Fórmulas trigonométricas por aplicar

$\displaystyle \sin{mu} \cos{nu} = \frac{1}{2} \sin{(m+n)u} + \frac{1}{2} \sin{(m-n)u}$

$\displaystyle \sin{mu} \sin{nu} = -\frac{1}{2} \cos{(m+n)u} + \frac{1}{2} \cos{(m-n)u}$

$\displaystyle \cos{mu} \cos{nu} = \frac{1}{2} \cos{(m+n)u} + \frac{1}{2} \cos{(m-n)u}$

$\displaystyle \cos{mu} \sin{nu} = \frac{1}{2} \sin{(m+n)u} - \frac{1}{2} \sin{(m-n)u}$

Fórmulas de integración directa

$\displaystyle \int{\sin{mu} \cos{nu} \, du} = -\frac{1}{2(m+n)} \cos{(m+n)u} - \frac{1}{2(m-n)} \cos{(m-n)u} + C$

$\displaystyle \int{\sin{mu} \sin{nu} \, du} = -\frac{1}{2(m+n)} \sin{(m+n)u} + \frac{1}{2(m-n)} \sin{(m-n)u} + C$

$\displaystyle \int{\cos{mu} \cos{nu} \, du} = \frac{1}{2(m+n)} \sin{(m+n)u} + \frac{1}{2(m-n)} \sin{(m-n)u} + C$

$\displaystyle \int{\cos{mu} \sin{nu} \, du} = -\frac{1}{2(m+n)} \cos{(m+n)u} + \frac{1}{2(m-n)} \cos{(m-n)u} + C$

2.2 Integrales de potencias de funciones hiperbólicas.

Las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones ordinarias.

Las funciones hiperbólicas básicas son:

El seno hiperbólico $\sinh x$
El coseno hiperbólico $\cosh x$ de donde podemos derivar la tangente hiperbólica $\tanh x$

Las identidades trigonométricas hiperbólicas formulario más básicas son las siguientes:

__________________________________________________________________________

2.3 Integración por sustitución.

Vamos a estudiar el primer método para integrar funciones que no son inmediatamente integrables a partir de la tabla de integrales que tenemos. Las siguientes sustituciones sirven para simplificar el integrando a una forma inmediatamente integrable:

$\begin{array}{ccc} \hline \text{\textbf{Para:}} & \text{\textbf{Sustituir:}} & \text{\textbf{para obtener:}}\\ \hline \sqrt{a^2 - b^2u^2} & u = \displaystyle\frac{a}{b}\,\sin z & a\,\sqrt{1 - \sin^2 z}\quad =\quad \textcolor{red}{a\cos z}\\~\\ \sqrt{a^2 + b^2u^2} & u = \displaystyle\frac{a}{b}\,\tan z & a\,\sqrt{1 + \tan^2 z}\quad =\quad \textcolor{red}{a\mathrm{sec}\;z}\\~\\ \sqrt{b^2u^2 - a^2} & u = \displaystyle\frac{a}{b}\,\mathrm{sec}\;z & a\,\sqrt{\sec^2 z - 1}\quad =\quad \textcolor{red}{a\tan z}\\ \hline \end{array}$

Debes recordar siempre sustituir $dx$ a partir del cálculo correspondiente para que la diferencial quede en términos de $dz$ .

EJEMPLO:

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2.4 El método de fracciones parciales.

Es el proceso de descomponer una fracción en otras más simples recibe el nombre de descomposición en fracciones parciales.

Existen dos tipos de fracciones:

Fracciones impropias: cuando el grado del polinomio del numerador es mayor o igual que el grado del polinomio del denominador.
Fracciones propias: cuando el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador. Fracciones impropias: siempre que se presente una integral con esta característica se debe efectuar la división entre polinomios y luego separar las integrales.

Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples.

Hay cuatro casos:

1) Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.

2) Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido.

3) Descomposición en fracciones parciales con un factor cuadrático irreducible.

4) Descomposición en fracciones parciales con factor cuadrático repetido.

_______________________________________________________________________

Sustitución de Euler.

La sustitución de Euler es un método para evaluar integrales de la forma

\int R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})\,dx,

donde $R$ es una función racional de $x$ y de ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ . En tales casos, el integrando se puede cambiar a una función racional usando las sustituciones de Euler.

Primera sustitución

La primera sustitución de Euler se utiliza cuando $a>0$ . Se sustituye

{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm x{\sqrt {a}}+t

y se resuelve la expresión resultante para $x$ . Se tiene que

x={\frac {c-t^{2}}{\pm 2t{\sqrt {a}}-b}}

y el término $dx$ se puede expresar racionalmente en $t$ .

En esta sustitución, se puede elegir el signo positivo o el signo negativo.

Segunda sustitución

Si $c > 0$ , se toma

{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=xt\pm {\sqrt {c}}.

Se resuelve para $x$ de manera similar al caso anterior y entonces

x={\frac {\pm 2t{\sqrt {c}}-b}{a-t^{2}}}.

Nuevamente, se puede elegir el signo positivo o negativo.

Tercera sustitución

Si el polinomio $ax^{2}+bx+c$ tiene raíces reales $\alpha$ y $\beta$ , se puede elegir

{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a(x-\alpha )(x-\beta )}}=(x-\alpha )t

Esto produce

x={\frac {a\beta -\alpha t^{2}}{a-t^{2}}},

y como en los casos anteriores, se puede expresar el integrando entero racionalmente en $t$ .

_______________________________________________________
Método del trapecio.

Dentro del Cálculo Numérico, la Integración Numérica comprende una amplia familia de algoritmos para el cálculo del valor numérico de una integral definida. En la mayoría de los casos, ese valor numérico es un valor aproximado de la integral definida. Puede haber varias razones por la cuales se desee o se necesite calcular el valor numérico aproximado de una integral definida:

La función integrando es desconocida, pero se conocen algunos puntos de la función, por ejemplo, puntos de datos obtenidos experimentalmente.

La función integrando no tiene función primitiva, por ejemplo:

La función primitiva es conocida, pero es más conveniente o más sencillo calcular numéricamente la integral definida.

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Metodo de simpson

En análisis numérico, la regla o método de Simpson (nombrada así en honor de Thomas Simpson) y a veces llamada regla de Kepler es un método de integración numérica que se utiliza para obtener la aproximación de la integral:

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]

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Cálculo Integral I

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viernes, 18 de marzo de 2022

UNIDAD N°2

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METODOS DE INTEGRACION

2.1. Integrales de productos de senos y cosenos con diferente argumento.

Fórmulas trigonométricas por aplicar

Fórmulas de integración directa

2.2 Integrales de potencias de funciones hiperbólicas.

Las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones ordinarias.

2.3 Integración por sustitución.

2.4 El método de fracciones parciales.

Primera sustitución

Segunda sustitución

Tercera sustitución

_______________________________________________________
Método del trapecio.

Metodo de simpson

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2.1. Integrales de productos de senos y cosenos con diferente argumento.

Fórmulas trigonométricas por aplicar

Fórmulas de integración directa

2.2 Integrales de potencias de funciones hiperbólicas.Las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones ordinarias.

2.3 Integración por sustitución.

2.4 El método de fracciones parciales.

Primera sustitución

Segunda sustitución

Tercera sustitución

_______________________________________________________Método del trapecio.

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2.2 Integrales de potencias de funciones hiperbólicas.

Las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones ordinarias.

_______________________________________________________
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